Fakta Unik Seputar Segitiga Pascal

1.256 views

Apa Itu Segitiga Pascal?
Segitiga Pascal adalah segitiga bilangan yang, meskipun sangat mudah dibuat, memiliki banyak pola yang menarik dan sifat yang berguna.

Meskipun dinamai setelah ahli matematika Prancis Blaise Pascal (1623–1662) yang mempelajari dan menerbitkan karya tentangnya, Segitiga Pascal diketahui telah dipelajari oleh Persia selama abad ke-12, Tiongkok selama abad ke-13 dan beberapa abad ke-16 Ahli matematika Eropa.

Fakta Unik Seputar Segitiga Pascal
Pembuatan Segitiga sangat sederhana. Mulailah dengan angka 1 di atas. Setiap angka di bawah ini dibentuk dengan menjumlahkan kedua angka secara diagonal di atasnya (memperlakukan ruang kosong di tepinya sebagai nol). Oleh karena itu baris kedua adalah 0 + 1 = 1 dan 1 + 0 = 1; baris ketiga adalah 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 1 + 0 = 1 dan seterusnya.
Fakta Unik Seputar Segitiga Pascal
Segitiga Pascal

Pola Angka Tersembunyi di Segitiga Pascal
Jika kita melihat diagonal Segitiga Pascal, kita bisa melihat beberapa pola yang menarik. Diagonal luar seluruhnya terdiri dari angka 1. Jika kita menganggap bahwa setiap nomor akhir akan selalu memiliki 1 dan spasi kosong di atasnya, mudah untuk melihat mengapa hal ini terjadi.

Diagonal kedua adalah bilangan asli berurutan (1, 2, 3, 4, 5, …). Sekali lagi, dengan mengikuti pola konstruksi segitiga, mudah untuk melihat mengapa hal ini terjadi.

Diagonal ketiga adalah tempat yang sangat menarik. Kami memiliki angka 1, 3, 6, 10, 15, 21, …. Ini dikenal sebagai bilangan segitiga, sehingga disebut sebagai bilangan pencacah ini dapat diatur menjadi segitiga sama sisi.

Fakta Unik Seputar Segitiga Pascal
Empat Angka Segitiga Pascal Pertama

Angka segitiga dibentuk dengan setiap kali menambahkan satu lebih banyak dari yang ditambahkan sebelumnya. Jadi misalnya, kita mulai dengan satu, lalu kita tambahkan dua, lalu tambahkan tiga, lalu tambahkan empat dan seterusnya memberi kita urutannya.

Diagonal keempat (1, 4, 10, 20, 35, 56, …) adalah bilangan tetrahedral. Ini mirip dengan bilangan segitiga, tetapi kali ini membentuk segitiga 3-D (tetrahedron). Angka-angka ini dibentuk dengan menjumlahkan angka-angka segitiga berurutan setiap kali, yaitu 1, 1 + 3 = 4, 4 + 6 = 10, 10 + 10 = 20, 20 + 15 = 35, dst. Diagonal kelima (1, 5, 15, 35, 70, 126, …) berisi nomor pentatop.

Ekspansi Binomial

Segitiga Pascal juga sangat berguna saat menangani ekspansi binomial.

Pertimbangkan (x + y) yang dipangkatkan menjadi bilangan bulat yang berurutan.

(x + y)1 = x + y

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 dst.

Deret Fibonacci
Kita Lihat diagram Segitiga Pascal di bawah ini. Ini adalah segitiga biasa, tetapi dengan garis-garis paralel dan miring yang ditambahkan padanya yang masing-masing memotong beberapa nomor. Kita tambahkan angka-angka pada setiap baris:

Baris pertama: 1
Baris ke-2: 1
Baris ke-3: 1 + 1 = 2
Baris ke-4: 1 + 2 = 3
Baris ke-5: 1 + 3 + 1 = 5
Baris ke-6: 1 + 4 + 3 = 8 dll.

Dengan menjumlahkan angka-angka pada setiap baris, kita mendapatkan urutan: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, dll. Atau dikenal sebagai deret Fibonacci (urutan yang ditentukan dengan menambahkan dua angka sebelumnya bersama-sama ke dapatkan nomor berikutnya dalam urutan).
 
Fakta Unik Seputar Segitiga Pascal

Pola di Baris
Ada juga beberapa fakta menarik untuk dilihat di deretan Segitiga Pascal.
Jika kita menjumlahkan semua angka berturut-turut, kita akan mendapatkan dua kali jumlah baris sebelumnya, mis. 1, 1 + 1 = 2, 1 + 2 + 1 = 4, 1 + 3 + 3 + 1 = 8 dll. Ini tergantung pada setiap angka dalam satu baris yang terlibat dalam pembuatan dua angka di bawahnya.
Jika bilangan baris adalah bilangan prima (saat menghitung baris, kita katakan 1 teratas adalah baris nol, pasangan ke 1 adalah baris pertama, dan seterusnya), maka semua bilangan di baris itu (kecuali 1 di akhir) adalah kelipatan dari p. Ini dapat dilihat pada baris ke-2, ke-3, ke-5 dan ke-7 dari diagram kita di atas.

Fraktal di Segitiga Pascal
Satu sifat luar biasa dari Segitiga Pascal menjadi jelas jika kita mewarnai semua bilangan ganjil. Melakukannya mengungkapkan perkiraan dari fraktal terkenal yang dikenal sebagai Segitiga Sierpinski. Semakin banyak baris Segitiga Pascal yang digunakan, semakin banyak perulangan fraktal yang ditampilkan.

Segitiga Sierpinski Dari Segitiga Pascal

Kit dapat melihat pada gambar di bawah bahwa pewarnaan pada angka ganjil pada 16 baris pertama Segitiga Pascal menunjukkan langkah ketiga dalam membangun Segitiga Sierpinski.
 
Fakta Unik Seputar Segitiga Pascal

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

Situs ini menggunakan Akismet untuk mengurangi spam. Pelajari bagaimana data komentar Anda diproses.