Pola Unik dari Bilangan Fibonacci

3.292 views

Pola Unik dari Bilangan Fibonacci

Berikut ini adalah urutan dari bilangan atau deret Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,…

Seperti yang kita ketahui bahwa bilangan atau deret fibonacci adalah deret dimana angka selanjutnya adalah merupakan penjumlahan dari bilangan-bilangan sebelumnya

Pola Unik dari Bilangan Fibonacci

Dengan pola itu bilangan ini mempunyai keunikan sendiri, bila kita lihat pada pembagian. Manakah dari angka-angka ini yang dapat dibagi oleh 2?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,

Setiap angka ketiga, kan? Dan 2 adalah angka Fibonacci ketiga. Oke, mungkin itu kebetulan. Bagaimana kalau yang habis dibagi 3?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Setiap nomor keempat, dan 3 adalah angka Fibonacci keempat. Oke, itu masih bisa jadi kebetulan. Bagaimana dengan jam 5?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Setiap nomor kelima. Dan bagimana dengan bilangan yang bisa dibagi 8?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,

Setiap nomor keenam. Sekarang terlihat seperti kebetulan? Bahkan, dapat dibuktikan bahwa pola ini berlangsung seterusnya: angka Fibonacci ke x membagi secara merata ke setiap bilangan ke x setelah itu!

Oke, sekarang mari kita gabungkan angka Fibonacci dan lihat apa yang terjadi.

Sekarang kita mencoba menambahkan deret Fibonacci dan kita tambahkan secara berurutan, dan kita akan melihat apa yang kita dapatkan

1^2 = 1
1^2 = 1
2^2 = 4
3^2 = 9
5^2 = 25
8^2 = 64
13^2 = 169

Kemudian kita tambahkan hasil dari kuadrat deret Fibonacci tersebut, dan akan kita dapatkan

1+1=2
1+4=5
4+9=13
9+25=34
25+64=89
64+169=233

Kita mendapatkan angka Fibonacci! Bahkan, kami mendapatkan setiap nomor lain dalam urutan!

Jadi itu menambahkan dua kuadrat sekaligus. Dan apa yang terjadi ketika kita menambahkan dengan rentang yang lebih panjang? Tiga atau empat atau dua puluh lima?

1+1+4=6
1+1+4+9=15
1+1+4+9+25=40
1+1+4+9+25+64=104
1+1+4+9+25+64+169=273

Sekilas jumlah yang dihasilkan tidak tampak istimewa. Tapi lihat apa yang terjadi ketika kita memperhitungkannya:

6=2\cdot3
15=3\cdot5
40=5\cdot8
104=8\cdot13
273=13\cdot21

Dan kita mendapatkan lebih banyak angka Fibonacci,angka Fibonacci berturut-turut, pada kenyataannya. Oke, itu terlalu kebetulan. Mari tanyakan mengapa pola ini terjadi. Kita memiliki angka kuadrat, jadi mari menggambar beberapa kotak.

Pola Unik dari Bilangan Fibonacci

Ini adalah kuadrat panjang sisi 1. Wilayahnya adalah 12 = 1. Kita menggambar satu lagi di sebelahnya:

Sekarang tepi atas gambar memiliki panjang 1 + 1 = 2, jadi kita bisa membuat persegi panjang sisi 2 di atasnya:

Sekarang panjang tepi paling kanan adalah 1 + 2 = 3, jadi kita bisa menambahkan kuadrat sisi panjang 3 ke ujungnya.

Sekarang panjang tepi bawah adalah 2 + 3 = 5

Dan itu membuat tepi paling kiri 3 + 5 = 8

Dan kita bisa melakukan ini karena kita bekerja dengan angka Fibonacci, kotak-kotak itu sangat pas. Kita bisa terus menambahkan kotak, berputar ke luar selama yang kita inginkan. Tetapi kita akan berhenti di sini dan bertanya pada diri sendiri apa area dari bentuk ini. Yah, kita membangunnya dengan menambahkan banyak kotak, dan kami tidak tumpang tindih dengan salah satu dari mereka atau meninggalkan celah di antara mereka, jadi total area adalah jumlah dari semua area kecil: itu 12 + 12 + 22 + 32 + 52 + 82. Tetapi bentuk yang dihasilkan juga berbentuk persegi panjang, sehingga kita dapat menemukan daerahnya dengan mengalikan lebarnya dengan panjangnya; lebarnya 8, dan panjangnya 5 + 8 = 13 …

Dan area tersebut menjadi produk dari angka Fibonacci. Itu adalah alasan visual yang luar biasa untuk pola yang kita lihat di angka sebelumnya! Jika kita menggeneralisasi apa yang baru saja kita lakukan, kita dapat menggunakan notasi bahwa F_n adalah nomor Fibonacci n, dan kita dapatkan

F_1^2 + F_2^2 + F_3^2 + \ldots + F_n^2 = F_n \cdot F_{n+1}

Kita memiliki banyak kotak dalam diagram yang dibuat, dan kita tahu bahwa sepermpat lingkaran  sesuai dengan kotak dengan sangat baik, jadi mari kita menggambar sekelompok seperempat lingkaran:

Pola Unik dari Bilangan Fibonacci

Dan jadilah apa yang disebut spiral Fibonacci. Itu hal yang sangat indah

Demikian Pola Unik dari Bilangan Fibonacci

1 komentar

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

Situs ini menggunakan Akismet untuk mengurangi spam. Pelajari bagaimana data komentar Anda diproses.